Question

某学校教学实验楼有两部电梯，每位教师选择哪部电梯到实验室的概率都是

1

2

，且相互独立，现有3位教师准备乘电梯到实验室．
（Ⅰ）求3位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率；
（Ⅱ）若记3位教师中乘第一部电梯到实验室的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设3位老师选第一部电梯的事件分别为A，B，C，由题意3位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率p=P（ABC）+P（

.

A

.

B

.

C

），由此能求出结果．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设3位老师选第一部电梯的事件分别为A，B，C，
由题意知P(A)=

1

2

，P（B）=

1

2

，P（C）=

1

2

，且事件A，B，C是相互独立事件，
∴3位教师选择乘同一部电梯到实验室的概率：
p=P（ABC）+P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

2

×

1

2

×

1

2

+（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）=

1

4

．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
由（Ⅰ）知：
P（ξ=0）=（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）=

1

8

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)(1-

1

2

)2=

3

8

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)=

3

8

，
P（ξ=3）=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

ξ的数学期望Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型，解题时要注意概率知识的灵活运用，是中档题．