Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

x2+3，(x∈[0，1)) 3-x2，(x∈[-1，0))

，且f（x+2）=f（x），g(x)=

3x+7

x+2

，则方程g（x）=f（x）在区间[-8，3]上的所有实数根之和为（　　）

• A、0
• B、-10
• C、-11
• D、-12

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：将方程根的问题转化为函数图象的交点问题，将函数式化简，根据图象的对称性，由图象观察即可．

解答： 解：∵f（x）=

x2+3，(x∈[0，1)) 3-x2，(x∈[-1，0))

，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-3=

x2，x-2∈[0，1) -x2，x-2∈[-1，0)

又g（x）=

3x+7

x+2

，则g（x）=3+

1

x+2

，
∴g（x-2）-3=

1

x

，
上述两个函数都是关于（-2，3）对称，
由图象可得：y=f（x）和y=g（x）的图象在区间[-8，3]上有6个交点，
它们都关于点（-2，3）对称，故之和为-2×6=-12．
但由于（-1，4）取不到，故之和为-12+1=-11．
即方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的实根有5个，
故方程f（x）=g（x）在区间[-8，3]上的所有实根之和为-11．
故选C．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系以及数形结合的思想，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．