已知双曲线的中心为原点,左、右焦点分别为、,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、,在线段上去异于点、的点,满足,证明点恒在一条定直线上.
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据双曲线的离心率列方程求出实数的值;(2)设点的坐标为,点的坐标为,利用条件确定与、之间的关系,再结合点在双曲线上这一条件,以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值;(3)证法一是先设点、的坐标分别为、,结合(2)得到,,引入参数,利用转化为相应的条件,利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式,进而证明点恒在定直线上;证法二是设直线的方程为,将直线的方程与双曲线的方程联立,结合韦达定理,将条件进行等价转化为,结合韦达定理化简为,最后利用点在直线上得到,从而消去得到
,进而证明点恒在定直线上.
试题解析:(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为,由于,解得,
故双曲线的方程为;
(2)设点的坐标为,点的坐标为,易知点,
则,,
,因此点的坐标为,
故直线的斜率,直线的斜率为,
因此直线与直线的斜率之积为,
由于点在双曲线上,所以,所以,
于是有
(定值);
(3)证法一:设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、,由(2)知,,,
设,则,即,
整理得,
由①③,②④得,,
将,,代入⑥得,⑦,
将⑦代入⑤得,即点恒在定直线上;
证法二:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,
由,
消去得,
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、,
则有,
设点,由,得,
整理得,
将②③代入上式得,
整理得,④
因为点在直线上,所以,⑤
联立④⑤消去得,所以点恒在定直线.
考点:1.双曲线的离心率;2.向量的坐标运算;3.斜率公式;4.韦达定理
科目:高中数学 来源:2014年陕西省咸阳市高考模拟考试(一)理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
执行如图所示的程序框图,输入的N=2014,则输出的S=( )
A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2014年广东省广州市毕业班综合测试一理科数学试卷(解析版) 题型:选择题
某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数,并绘制成如图所示的频率分布直方图,样本数据分组为、、、、.若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在范围内的数据个,则其中分数在范围内的样本数据有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2014年广东省广州市毕业班综合测试一文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知某种同型号的瓶饮料中有瓶已过了保质期.
(1)从瓶饮料中任意抽取瓶,求抽到没过保质期的饮料的概率;
(2)从瓶饮料中随机抽取瓶,求抽到已过保质期的饮料的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2013-2014学年(安徽专用)高考数学(文)仿真模拟卷2练习卷(解析版) 题型:填空题
如图是一个空间几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆,俯视图是半径为2的圆,则该几何体的体积等于________.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源:2013-2014学年(安徽专用)高考数学(文)专题阶段评估模拟卷6练习卷(解析版) 题型:填空题
右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com