(满分13分)
如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
(1)求证:DM∥平面APC;
(2)求证:平面ABC⊥平面APC;
(1)要证DM∥平面APC,只需证明MD∥AP(因为AP?面APC)即可.
(2)在平面ABC内直线AP⊥BC,BC⊥AC,即可证明BC⊥面APC,从而证得平面ABC⊥平面APC;
解析试题分析:解:(1)由已知得,MD是△ABP的中位线 ∴MD∥AP
∵MD?面APC,AP?面APC
∴MD∥面APC
(2)∵△PMB为正三角形,D为PB的中点,
∴MD⊥PB,∴AP⊥PB 又∵AP⊥PC,PB∩PC=P ∴AP⊥面PBC
∵BC?面PBC ∴AP⊥BC 又∵BC⊥AC,AC∩AP=A
∴BC⊥面APC ∵BC?面ABC ∴平面ABC⊥平面APC
考点:线面平行和面面垂直
点评:解决的关键是利用线面和面面的平行和垂直的判定定理来分析证明,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图1,⊙O的直径AB=4,点C、D为⊙O上两点,且∠CAB=45o,F为的中点.沿直径AB折起,使两个半圆所在平面互相垂直(如图2).
(Ⅰ)求证:OF//平面ACD;
(Ⅱ)在上是否存在点,使得平面平面ACD?若存在,试指出点的位置;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知ABCD是矩形,AD=2AB,E,F分别是线段AB,BC的中点,PA⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求证:DF⊥平面PAF;
(Ⅱ)在棱PA上找一点G,使EG∥平面PFD,当PA=AB=4时,求四面体E-GFD的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)如图,五面体中, ,底面ABC是正三角形, =2.四边形是矩形,二面角为直二面角,D为中点。
(I)证明:平面;
(II)求二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分10分)
如图,已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F,
⑴求证:A1C⊥平面BDE;
⑵求A1B与平面BDE所成角的正弦值。
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