Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P为椭圆C与y轴的交点，若以F₁，F₂，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由点P为椭圆C与y轴的交点，以F₁，F₂，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，可得∠F₁PF₂≤90°，由此可建立a，c的关系，即可求出椭圆C的离心率的取值范围．

解答： 解：∵点P为椭圆C与y轴的交点，以F₁，F₂，P三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形，
∴∠F₁PF₂≤90°，
∴tan∠OPF₂≤1，
∴

c

b

≤1，
∴c≤b，
∴c²≤a²-c²，
∴0＜e≤

2

2

．
故答案为：（0，

2

2

]．

点评：本题考查椭圆C的离心率的取值范围，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．