Question

（本小题满分14分）对于函数，若存在，使，则称是的一个不动点，已知函数，

（1）当时，求函数的不动点；

（2）对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的图象上两点的横坐标是的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值

 

Answer 1

（1）和；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）由题意是的不动点，所以，得或，所以函数的不动点为和

（2）函数恒有两个相异的不动点，即恒有两个不等的实根，即对恒成立，即，得的取值范围为

（3）由题意A,B两点的直线斜率为1，所以，，中点为，则的坐标为，

∴，∴，由均值不等式得当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为

试题解析: 【解析】
（1），是的不动点，

则，得或，函数的不动点为和

（2）∵函数恒有两个相异的不动点，∴恒有两个不等的实根，对恒成立，

∴，得的取值范围为

（3）由得，由题知，，

设中点为，则的坐标为，

∴，∴，

当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为

 

考点：一元二次不等式恒成立问题、均值不等式的应用.