Question

14．若函数f（x）在定义域内满足：（1）对于任意不相等的x₁，x₂，有x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞x₁f（x₁）+x₂f（x₂）；（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，则称函数f（x）为“单通道函数”，给出以下4个函数：
①$f（x）=sin（x+\frac{π}{4}）+cos（x+\frac{π}{4}）$，x∈（0，π）；
②g（x）=lnx+e^x，x∈[1，2]；
③h（x）=x³-3x²，x∈[1，2]；
④φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，-1≤x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-1）-1，0＜x≤1}\end{array}\right.$，其中，“单通道函数”有（　　）

• A． ①③④
• B． ①②④
• C． ①③
• D． ②③

Answer 1

分析 分析条件（1），得出函数f（x）是单调减函数，条件（2）f（x）是有界函数；
再分析命题①②③④，得出满足条件（1）（2）的函数即可．

解答 解：（1）对于任意不相等的x₁，x₂，有x₁f（x₂）+x₂f（x₁）＞x₁f（x₁）+x₂f（x₂）；
即不等式（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0恒成立，
所以函数f（x）是定义在I上的单调减函数；
（2）存在正数M，使得|f（x）|≤M，即-M≤f（x）≤M；
对于①，f（x）=sin（x+$\frac{π}{4}$）+cos（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cosx，
在x∈（0，π）时，f（x）是单调减函数，且|f（x）|＜$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$，是“单通道函数”；
对于②，g（x）=lnx+e^x，在x∈[1，2]上是单调增函数，不满足（1），不是“单通道函数”；
对于③，h（x）=x³-3x²，∴h′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴x∈[1，2]时，h′（x）≤0，h（x）是单调减函数，
且h（1）=-2，h（2）=-4，∴-4≤h（x）≤-2，∴|h（x）|≤4，
∴h（x）是[1，2]上的“单通道函数”；
对于④，φ（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{-x}，-1≤x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x-1）-1，0＜x≤1}\end{array}\right.$，
x∈[-1，0]时，φ（x）=-2^-x=-${（\frac{1}{2}）}^{x}$是单调增函数，不满足（1），∴不是“单通道函数”．
综上，是“单通道函数”的为①③．
故选：C．

点评 本题主要考查函数单调性和有界性的应用问题，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．