Question

16．设有穷数列a₀，a₁，a₂，…，a_m的各项均为整数，若对每一个k∈{1，2，3，…，m}，均有|a_k-a_k-1|=k²，则称数列{a_n}为“m阶优数列”．
（1）判断数列1，2，-2，7，-9与数列1，2，6，10，14是否是“4阶优数列”，并求以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；
（2）请写出一个首项和末项都是2015的“8阶优数列”；
（3）对任意两个整数s，t，是否存在一个“r阶优数列”，其首项为s且末项为t．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的定义，判断数列1，2，-2，7，-9是“4阶优数列”，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；
再求出以1为首项的所有“4阶优数列”的个数；
（2）根据新定义，写出满足条件的一个“8阶优数列”；
（3）根据新定义，说明对任意两个整数s，t，都存在以s为首项，t为末项的“r阶优数列”．

解答 解：（1）因为|2-1|=1²，|-2-2|=2²，|7-（-2）|=3²，|-9-7|=4²，
所以，数列：1，2，-2，7，-9是“4阶优数列”；
因为10-6≠3²，所以，数列1，2，6，10，14不是“4阶优数列”；
对a₀=1，满足条件的a₁都有两种取法，对每一个a₁，满足条件的a₂都有两种取法，
对每一个a₂，满足条件的a₃都有两种取法，对每一个a₃，满足条件的a₄都有两种取法，
所以，以1为首项的所有“4阶优数列”的个数为16；
（2）因为|a_k-a_k-1|=k²，所以a_k-a_k-1=±k²，k∈{1，2，3，…，m}；
所以a₈-a₀=（a₁-a₀）+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a₈-a₇）=±1²±2²±3²±…±7²±8²
取2015-2015=1²-2²-3²+4²-5²+6²+7²-8²
即a₁-a₀=1，a₂-a₁=-4，a₃-a₂=-9，a₄-a₃=16，a₅-a₄=-25，a₆-a₅=36，a₇-a₆=49，a₈-a₇=-64，
所以a₀=2015，a₁=2016，a₂=2012，a₃=2003，a₄=2019，a₅=1994，a₆=2030，a₇=2079，a₇=2015；
或取2015-2015=-1²+2²+3²-4²+5²-6²-7²+8²
即a₁-a₀=-1，a₂-a₁=4，a₃-a₂=9，a₄-a₃=-16，a₅-a₄=25，a₆-a₅=-36，a₇-a₆=-49，a₈-a₇=64，
所以a₀=2015，a₁=2014，a₂=2018a₃=2027，a₄=2011，a₅=2036，a₆=2000，a₇=1951，a₈=2015；
（3）因为|a_k-a_k-1|=k²，所以a_k-a_k-1=±k²，k∈{1，2，3，…，m}；
a_m-a₀=（a₁-a₀）+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_m-a_m-1）=±1²±2²±3²±…±（m-1）²±m²
因为n²-（n+1）²-（n+2）²+（n+3）²=4，-n²+（n+1）²+（n+2）²-（n+3）²=-4，
所以，当t-s=4p（p∈Z）时，取r=|t-s|+8，使前8项和取1²-2²-3²+4²-5²+6²+7²-8²=4-4=0，后面的|t-s|项的和为4p，存在“r阶优数列”；
当t-s=4p+1（p∈Z），即t-s-1=4p（p∈Z）时，取r=1+|t-s-1|，第一项取1²，使后面的|t-s-1|项的和为4p，存在“r阶优数列”；
当t-s=4p+2（p∈Z），即t-s-2=4p（p∈Z）时，取r=4+|t-s-2|，使前4项和取-1²-2²-3²+4²=2，使后面的|t-s-2|项的和为4p，存在“r阶优数列”；
当t-s=4p+3（p∈Z），即t-s+1=4（p+1）（p∈Z）时，取r=1+|t-s+1|，第一项取-1²，使后面的|t-s+1|项的和为4（p+1），存在“r阶优数列”；
综上，对任意两个整数s，t，都存在以s为首项，t为末项的“r阶优数列”．

点评 本题考查了新定义的数列的递推公式的应用问题，也考查了分析问题与解答问题的能力，是较难的题目．