Question

【题目】已知动点满足，记M的轨迹为曲线C，直线l：（）交曲线C于P，Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E，连接QE并延长交曲线C于点G.

（1）求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线；

（2）若，求的面积.

（3）求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1），轨迹是以、为焦点的椭圆

（2）

（3）

【解析】

(1)根据，由两点间的距离公式可看出，其表示动点与两定点、的距离之和为，且，可知其符合椭圆的定义，把相关量代入椭圆标准方程，即可求解；

(2)写出直线的方程与曲线的方程联立，便可解出点坐标，进而知道点的坐标，再求出直线的方程后，与曲线的方程联立，可解出点的坐标，再代公式，即可求出面积；

(3)将直线的方程与曲线的方程联立，解出点坐标，进而得点的坐标，再求出直线的方程后，与曲线的方程联立，可得点坐标，再根据点坐标，得直线的斜率，可验证，得是直角三角形，代两点间的距离公式可求出，所以是一个关于直线的斜率的函数，由函数求最值的方法，即可求解.

（1）由，可得点到点、的距离之和为4且，所以动点的轨迹是以、的椭圆，其中，，即，，所以曲线C的轨迹方程为，轨迹是以、的椭圆.

（2）根据题意得，与联立

，解得或

所以P点坐标为，Q点坐标为

因为轴，垂足为E，所以E点坐标为

所以直线QE方程为

与联立，可得，整理可得或

所以G点坐标为

（3）设直线PQ的斜率为k，则其方程为（）.由得.

记，则，，.

于是直线QG的斜率为，方程为.

由得——①

设，则和是方程①的解，故.由此得.

从而直线PG的斜率为.

所以，即是直角三角形.

得，.

所以的面积.

设，则由得，当且仅当时取等号.

因为在单调递减，所以当，即时，S取得最大值，最大值为.

因此，面积的最大值为.