Question

16．某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计）．易拉罐的体积为162πml，设圆柱的高度为hcm，底面半径为rcm，且h≥6r．假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关．已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm²，易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm²（m，n为常数，且0＜3m＜n）．
（1）写出易拉罐的制造费用y（元）关于r（cm）的函数表达式，并求其定义域；
（2）求易拉罐制造费用最低时r（cm）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，体积V=πr²h，得$h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}$．y=2πrh×m+2πr²×n．由h≥6r，可得所求函数定义域．
（2）令$f（r）=\frac{162m}{r}+n{r^2}$，则$f'（r）=\frac{162m}{r^2}+2nr$．由f'（r）=0，解得$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$．当n＞2m时，$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈（0，3]$，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解答 解：（1）由题意，体积V=πr²h，得$h=\frac{V}{{π{r^2}}}=\frac{162}{r^2}$．
y=2πrh×m+2πr²×n=$2π（\frac{162m}{r}+n{r^2}）$．
因为h≥6r，即r≤3，即所求函数定义域为（0，3]．
（2）令$f（r）=\frac{162m}{r}+n{r^2}$，则$f'（r）=\frac{162m}{r^2}+2nr$．
由f'（r）=0，解得$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$．
当n＞2m时，$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}∈（0，3]$，由，

r	$（0，3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}）$	$3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$	$（3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}，3）$
f'（r）	-	0	+
f（r）	减		增

得，当$r=3\root{3}{{\frac{3m}{n}}}$时，f（r）有最小值，此时易拉罐制造费用最低．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、圆柱的体积与表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．