Question

8．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数组成没有重复数字的七位数，试问：
（1）三个偶数排在一起的有几个？
（2）偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？
（3）任意两偶然都不相邻的七位数有几个？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分3步进行分析：先在4个偶数中取3个，在5个奇数中取4个，再将其中三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，得到结果，
（2）分3步进行分析：先在4个偶数中取3个，在5个奇数中取4个，再将3个偶数排在一起，有A₃³种情况，4个奇数也排在一起有A₄⁴种情况，将奇数与偶数进行全排列计算可得答案；
（3）分3步进行分析：先在4个偶数中取3个，在5个奇数中取4个，再把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，利用分别计数原理得到结果．

解答 解：（1）根据题意，分3步进行分析：
①、在4个偶数中取3个，有C₄³种结果，在5个奇数中取4个，有C₅⁴种结果，
②、三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素，考虑其顺序，有A₃³种情况，
③、将这个元素与4个奇数全排列，有A₅⁵种情况，
则三个偶数排在一起的七位数共有C₄³C₅⁴A₅⁵A₃³=14400个；
（2）根据题意，分3步进行分析：
①、在4个偶数中取3个，有C₄³种结果，在5个奇数中取4个，有C₅⁴种结果，
②、3个偶数排在一起有A₃³种情况，4个奇数也排在一起有A₄⁴种情况，
③、将奇数整体、偶数整体全排列，有A₂²种情况，
则共有C₄³C₅⁴A₃³A₄⁴A₂²=5760个偶数排在一起、奇数也排在一起的七位数；
（3）根据题意，分3步进行分析：
①、在4个偶数中取3个，有C₄³种结果，在5个奇数中取4个，有C₅⁴种结果，
②、把4个奇数全排列，有A₄⁴种情况，拍好后有5个空位，
③、在5个空位中任选3个，安排3个偶数，有A₅³种情况，
则共有A₅⁴C₄³A₅³=28800个两偶然都不相邻的七位数．

点评 题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，本题是一个比较典型的排列组合问题．