Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，侧面BCC₁B₁的面积为2，则直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球表面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设BC=2x，BB₁=2y，则4xy=2，利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，可得直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径为

x2+y2

≥

2xy

=1，即可求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球表面积的最小值．

解答： 解：设BC=2x，BB₁=2y，则4xy=2，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径为

x2+y2

≥

2xy

=1，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球表面积的最小值为4π×1²=4π．
故答案为：4π．

点评：本题考查三棱柱ABC-A₁B确定₁C₁外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，确定直三棱柱ABC-A₁B₁C₁外接球的半径的最小值是关键．