Question

设

a1

=2

i

-

j

+

k

，

a2

=

j

+3

j

-2

k

，

a3

=-2

i

+

j

-3

k

，

a4

=3

i

+2

j

+5

k

，

i

，

j

，

k

是空间两两垂直的单位向量是否存在实数λμγ，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

成立？不存在请说明理由．

Answer 1

考点：空间向量的基本定理及其意义

专题：方程思想,空间向量及应用

分析：假设存在λ、μ、γ，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

，根据向量的运算与相等，列出方程组，求出λ、μ、γ的值即可．

解答： 解：假设存在λ、μ、γ，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

，
则3

i

+2

j

+5

k

=λ（2

i

-

j

+

k

）+μ（

i

+3

j

-2

k

）+γ（-2

i

+

j

-3

k

）
=（2λ+μ-2γ）

i

+（-λ+3μ+γ）

j

+（λ-2μ-3γ）

k

，
∴

2λ+μ-2γ=3 -λ+3μ+γ=2 λ-2μ-3γ=5

；
解得λ=-2，μ=1，γ=-3；
∴存在λ=-2、μ=1、γ=-3，使

a4

=λ

a1

+μ

a2

+γ

a3

成立．

点评：本题考查了空间向量的线性运算与解方程组的应用问题，是基础题目．