Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和为S_n，数列{

Sn

n

}是首项为0，公差为

1

2

的等差数列．
（1）设b_n=

4

15

•（-2）ⁿ（n∈N^*），对任意的正整数k，将集合{b_2k-1，b_2k，b_2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为d_k，求证：数列{d_k}为等比数列；
（2）对（1）题中的d_k，求集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列{

Sn

n

}是首项为0，公差为

1

2

的等差数列求出其通项公式，进一步得到数列{a_n}的通项公式，代入b_n=

4

15

•(-2)an，得到b_n，求出b_2k-1，b_2k，b_2k+1，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1 及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成递增的等差数列，再求出公差d_k，由等比数列的定义可得数列{d_k}为等比数列；
（2）解：分k为奇数和k为偶数利用二项式定理展开d_k与d_k+1，可得k为奇数时，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为

3(4k+1)

5

；k为偶数时，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为

3(4k-1)

5

．

解答： （1）证明：∵数列{

Sn

n

}是首项为0，公差为

1

2

的等差数列，
∴

Sn

n

=0+

1

2

(n-1)，即Sn=

n(n-1)

2

．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

n(n-1)

2

-

(n-1)(n-2)

2

=n-1，
a₁=0适合上式，∴a_n=n-1．
又b_n=

4

15

•(-2)an，∴bn=

4

15

•(-2)n-1(n∈N*)，
∴b2k-1=

4

15

•(-2)2k-2，b2k=

4

15

•(-2)2k-1，b2k+1=

4

15

•(-2)2k，
由2b_2k-1=b_2k+b_2k+1 及b_2k＜b_2k-1＜b_2k+1，得b_2k，b_2k-1，b_2k+1依次成递增的等差数列．
∴dk=b2k+1-b2k-1=

4

15

•(-2)2k-

4

15

•(-2)2k-2=

4k

5

．
满足

dk+1

dk

=4为常数，
∴数列{d_k}为等比数列；

（2）解：①当k为奇数时，dk=

4k

5

=

(5-1)k

5

=

5k- C 1 k 5k-1+ C 2 k 5k-2-…+(-1)k

5

=5k-1-

C

1 k

5k-2+

C

2 k

5k-3-…-

1

5

．
同样可得：dk+1=

4k+1

5

=

(5-1)k+1

5

=5k-

C

1 k+1

5k-1+

C

2 k+1

5k-2-…+

1

5

．
∴集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为(dk+1-

1

5

)-(dk+

1

5

)+1=dk+1-dk+

3

5

=

3(4k+1)

5

；
②当k为偶数时，同理可得集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为

3(4k-1)

5

．
综上，当k为奇数时，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为

3(4k+1)

5

；
当k为偶数时，集合{x|d_k＜x＜d_k+1，x∈Z}的元素个数为

3(4k-1)

5

．

点评：本题是等差数列和等比数列的综合题，考查了等差关系与等比关系的确定，训练了二项式定理的应用，是中档题．