Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）（0＜α＜π）．
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

（O为坐标原点），求

OB

与

OC

的夹角；
（2）若

AC

⊥

BC

，求tanα的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），利用向量模的计算公式可得（2+cosα）²+sin²α=7，化简整理可得cosα=

1

2

，又0＜α＜π，即可解得α．设

OB

与

OC

的夹角为θ，θ∈[0，π]．利用向量夹角公式即可得出．
（2）

AC

⊥

BC

，可得

AC

•

BC

=0，cosα+sinα=

1

2

，又sin²α+cos²α=1，联立解得即可．

解答： 解：（1）由

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），|

OA

+

OC

|=

7

，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，
∴4+4cosα+cos²α+sin²α=7，
化为cosα=

1

2

，
又0＜α＜π，解得α=

π

3

．
∴

OC

=(

1

2

，

3

2

)，设

OB

与

OC

的夹角为θ，θ∈[0，π]．
则cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

3

2

，
∴θ=

π

6

．即

OB

与

OC

的夹角为

π

6

．
（2）∵

AC

=（cosα-2，sinα），

BC

=（cosα，sinα-2）．
∵

AC

⊥

BC

，
∴

AC

•

BC

=cosα（cosα-2）+sinα（sinα-2）=1-2cosα-2sinα=0，
∴cosα+sinα=

1

2

，
又sin²α+cos²α=1，
∵0＜α＜π，
联立解得sinα=

1+ 7

4

，cosα=

1- 7

4

．
∴tanα=

sinα

cosα

=

1+ 7

1- 7

=-

4+ 7

3

．

点评：本题考查了向量模的计算公式、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．