Question

已知抛物线C：y=（t²+t-1）x²-2（a+t）²x+（t²+3at+b）对任何实数t都与x轴交于P（1，0）点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q（m，0），求m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先根据对于任意的实数t，抛物线C都与x轴交于P（1，0）容易求得a=1，b=3，从而求出抛物线C的方程为y=（t²+t-1）x²-2（t+1）²x+t²+3t+3．而根据韦达定理即可得到m=

t2+3t+3

t2+t-1

，把该式整理成关于t的方程，根据方程有解即可求得m的取值范围．

解答： 解：根据已知条件：t²+t-1-2（a+t）²+t²+3at+b=0；
整理得，（1-a）t+b-2a²-1=0，该式对任意的t都成立；
∴

1-a=0 b-2a2-1=0

；
∴a=1，b=3；
∴y=（t²+t-1）x²-2（t+1）²x+t²+3t+3；
根据题意及韦达定理：m=

t2+3t+3

t2+t-1

；
整理成：（m-1）t²+（m-3）t-m-3=0，该关于t的方程有解；
①m=1时，该方程显然有解；
②m≠1时，要使得方程有解，则：
△=（m-3）²+4（m-1）（m+3）≥0；
解得，m≥

3

5

，或m≤-1；
∴综上得m的取值范围为[

3

5

，+∞)∪(-∞，-1]．

点评：考查图象上点的坐标和对应方程的关系，对于任意的t，at+b=0成立的充要条件是

a=0 b=0

，以及韦达定理，并且不要忘了m=1的情况．