Question

3．已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
（1）当a=3时，方程f（x）=m的解的个数；
（2）对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方，求a的取值范围；
（3）f（x）在（-4，2）上单调递增，求a的范围．

Answer 1

分析 （1）当a=3时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x≥3\\ 5x-{x^2}，x＜3\end{array}\right.$，分类讨论可得不同情况下方程f（x）=m的解的个数；
（2）对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方，即x|x-a|＜1在x∈[1，2]上恒成立，解得a的取值范围；
（3）f（x）在（-4，2）上单调递增，结合二次函数的图象和性质分段讨论满足条件的a值，可得答案．

解答 解：（1）当a=3时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x，x≥3\\ 5x-{x^2}，x＜3\end{array}\right.$，
当m=6或$\frac{25}{4}$时，方程有两个解；
当m＜6或$m＞\frac{25}{4}$时，方程一个解；
当$6＜m＜\frac{25}{4}$时，方程有三个解．--------------------------------------------------------------（3分）
（2）由题意知f（x）＜g（x）恒成立，
即x|x-a|＜1在x∈[1，2]上恒成立，
即$|x-a|＜\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立，
即$x-\frac{1}{x}＜a＜x+\frac{1}{x}$在x∈[1，2]上恒成立，
∴$\frac{3}{2}＜a＜2$-----------------------------------------（9分）
（3）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}+（2-a）x，x≥a\\-{x^2}+（a+2）x，x＜a\end{array}\right.$
①$\frac{a-2}{2}≤a$且$\frac{a+2}{2}≥a$，即-2≤a≤2时，
f（x）在R单调递增，满足题意；
②$\frac{a-2}{2}＞a$且$\frac{a+2}{2}≥a$，即a＜-2时，
f（x）在（-∞，a）和（$\frac{a-2}{2}$，+∞）单调递增，
∵f（x）在（-4，2）上单调递增，
∴a≥2或-4，
∴a≤-6；
③$\frac{a-2}{2}＞a$且$\frac{a+2}{2}＜a$，即a＜-2且a＞2时，不存在满足条件的a值；
④$\frac{a-2}{2}＜a$且$\frac{a+2}{2}＜a$，即a＞2时，
f（x）在（-∞，$\frac{a+2}{2}$）和（a，+∞）上单调递增，
∵f（x）在（-4，2）上单调递增，
∴$\frac{a+2}{2}≥2$或a≤-4，∴a＞2
综上：a≤-6或a≥-2-----------------------------------------------------（16分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，二次函数的图象和性质，难度中档．