Question

【题目】已知函数.

若，求函数的极值；

设函数，求函数的单调区间；

若在区间上不存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极小值为；（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值（2）先求导数，求导函数零点，讨论与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性（3）正难则反，先求存在一点,使得成立时实数的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合（2）单调性可得实数的取值范围，最后取补集得结果

试题解析：解：（I）当时， ，列极值分布表

在（0,1）上递减，在上递增，∴的极小值为；

（II）

①当时， 在上递增；

②当时， ，

∴在上递减，在上递增；

（III）先解区间上存在一点,使得成立

在上有解当时，

由（II）知

①当时， 在上递增， ∴

②当时， 在上递减，在上递增

当时， 在上递增， 无解

当时， 在上递减

，∴；

当时， 在上递减，在上递增

令，则

在递减， ， 无解，

即无解；

综上：存在一点,使得成立，实数的取值范围为： 或.

所以不存在一点，使得成立，实数的取值范围为.