Question

(2014·孝感模拟)已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.

(1)求函数f(x)的最小值.

(2)对于?x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.

 

Answer 1

（1）f(x)min=

（2）a∈(-∞,-5)∪(1,+∞)

【解析】(1)函数f(x)的对称轴是x=a,

当a≤1时,f(x)min=f(2)=a2+4a-3,

当a>1时,f(x)min=f(0)=1+a2,

所以f(x)min=

(2)令=t(t∈[0,]),则x=2-t2,

所以g(x)=h(t)=-t2+t+,

因为对称轴t=∈,所以g(x)max=h(t)max=2,

由题意,要使对于?x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,只要f(x)min>g(x)max即可,

所以当a≤1时,f(x)min=a2+4a-3>2,

解得：a<-5,

当a>1时,f(x)min=1+a2>2,解得：a>1,

综上所述,a∈(-∞,-5)∪(1,+∞).