Question

4．如图，在直角坐标系xOy中，点P是单位圆上的动点，过点P作x轴的垂线与射线y=$\sqrt{3}$x（x≥0）交于点Q，与x轴交于点M．记∠MOP=α，且α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（Ⅰ）若sinα=$\frac{1}{3}$，求cos∠POQ；
（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 ﹙Ⅰ﹚同角三角的基本关系求得cosα的值，再利用两角差的余弦公式求得cos∠POQ的值．
（Ⅱ）利用用割补法求三角形POQ的面积，再利用正弦函数的值域，求得它的最值．

解答 解：﹙Ⅰ﹚因为$sinα=\frac{1}{3}$，且$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以$cosα=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．
所以$cos∠POQ=cos（\frac{π}{3}-α）=cos\frac{π}{3}cosα+sin\frac{π}{3}sinα=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{6}$．
（Ⅱ）由三角函数定义，得P（cosα，sinα），从而$Q（cosα，\sqrt{3}cosα）$，
所以 ${S_{△POQ}}=\frac{1}{2}|cosα||\sqrt{3}cosα-sinα|$=$\frac{1}{2}|\sqrt{3}{cos^2}α-sinαcosα|$=$\frac{1}{2}|\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}cos2α}}{2}-\frac{1}{2}sin2α|=\frac{1}{2}|\frac{{\sqrt{3}}}{2}+sin（\frac{π}{3}-2α）|$
$≤\frac{1}{2}|\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1|=\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{1}{2}$．
因为$α∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$，所以当$α=-\frac{π}{12}$时，等号成立，
所以△OPQ面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查任意角三角函数的定义，正弦函数的值域，用割补法求三角形的面积，属于中档题．