Question

16．已知函数f（x）=|2x+a|-|2x-3|，a∈R．
（1）若a=2，求不等式f（x）≥-3的解集；
（2）若存在实数x使得f（x）≥2a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值的性质表示出f（x）的最大值，解不等式|a+3|≥2a即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-5，x＜-1}\\{4x-1，-1≤x≤\frac{3}{2}}\\{5，x＞\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
由f（x）≥-3，得$\left\{\begin{array}{l}{4x-1≥-3}\\{-1≤x≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或x＞$\frac{3}{2}$，
解得：-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$，
∴x≥-$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集是[-$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）∵f（x）=|2x+a|-|2x-3|≤|2x+a-2x+3|=|a+3|，
当且仅当（2x+a）（2x-3）≥0且|2x+a|≥|2x-3|时，如取x=$\frac{3}{2}$“=”成立，
∴f（x）的最大值为|a+3|，∴|a+3|≥2a，
∵a≤0时，上式成立，
当a＞0时，a+3≥2a，∴0＜a≤3，
综上，a的范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．