Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$取得最大值2，方程f（x）=0的两个根为x₁、x₂，且|x₁-x₂|的最小值为π．
（1）求f（x）；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间和在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上的值域．

Answer 1

分析 （1）由最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得结论．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=$\frac{π}{6}$取得最大值2，∴A=2，
方程f（x）=0的两个根为x₁、x₂，且|x₁-x₂|的最小值为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$=π，∴ω=1，
再根据五点法作图可得1•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，∴$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$．
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数g（x）的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
在（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$）上，∵2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），∴g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈（-1，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．