Question

16．正三棱柱的底面边长为$\sqrt{3}$，侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（　　）

• A． 4π
• B． 8π
• C． 12π
• D． 16π

Answer 1

分析 根据正三棱柱的对称性，它的外接球的球心在上下底面中心连线段的中点．再由正三角形的性质和勾股定理，结合题中数据算出外接球半径，用球表面积公式即可算出该球的表面积．

解答 解：设三棱柱ABC-A′B′C′的上、下底面的中心分别为O、O′，
根据图形的对称性，可得外接球的球心在线段OO′中点O₁，
∵OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=1，OO₁=$\frac{1}{2}$AA′=1
∴O₁A=$\sqrt{2}$
因此，正三棱柱的外接球半径R=$\sqrt{2}$，可得该球的表面积为S=4πR²=8π
故选：B．

点评 本题给出所有棱长均为2的正三棱柱，求它的外接球的表面积，着重考查了正三棱柱的性质、球的内切外接性质和球的表面积公式等知识，属于基础题．