Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C₁和圆弧C₂相接而成，两相接点M、N均在直线x=3上，圆弧C₁的圆心是坐标原点O，半径为5，圆弧C₂过点A（-1，0）．
（1）求圆弧C₂的方程；
（2）曲线C上是否存在点P，满足PA=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆弧C₁所在圆的方程求出M、N的坐标，求出直线AM的中垂线方程与直线MN中垂线方程，再求出圆弧C₂所在圆的圆心和半径，即可求出圆弧C₂所在圆的方程；
（2）先假设存在这样的点P（x，y），根据条件和两点的距离公式列出方程化简，求出点P的轨迹方程，分别与圆弧C₁的方程、圆弧C₂的方程联立后求出P的坐标即可得到答案．

解答 解：（1）圆弧C₁所在圆的方程为x²+y²=25，
令x=3，解得M（3，4），N（3，-4），
∵圆弧C₂过点A（-1，0），
∴直线AM的中垂线方程为y-2=-（x-1），
∵直线MN的中垂线方程y=0上，
∴令y=0，得圆弧C₂所在圆的圆心为O₂（3，0），
∴圆弧C₂所在圆的半径为r₂=|O₂A|=4，
∴圆弧C₂的方程为（x-3）²+y²=16（-1≤x≤3）；（6分）
（2）假设存在这样的点P（x，y），
由$PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}PO$得，$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简得，x²+y²+4x+2=0，（8分）
∴点P的轨迹方程是x²+y²+4x+2=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+4x+2=0}\\{{x^2}+{y^2}=25（-5≤x≤3）}\end{array}}\right.$，
解得$x=-\frac{27}{4}$（舍去），
由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}+4x+2=0}\\{{{（x-3）}^2}+{y^2}=16（-1≤x≤3）}\end{array}}\right.$，
解得$x=-\frac{9}{10}，y=±\frac{{\sqrt{79}}}{10}$，
综上知的，这样的点P存在2个．（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，圆的方程求法：几何法，以及两点间的距离公式，考查了方程思想，化简、计算能力，属于中档题．