Question

3．已知三棱锥P-ABC中，PA=4，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，PA⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的半径为4．

Answer 1

分析 设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P-ABC球半径为R，由正弦定理，求出r，再由勾股定理得R．

解答 解：设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P-ABC球半径为R，
∵底面△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{3}$，BC=6，
∴cos∠BAC=$\frac{12+12-36}{2×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$
∴sin∠BAC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴由正弦定理，得：2r=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
解得r=2$\sqrt{3}$，
设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理得R²=d²+（2$\sqrt{3}$）²=（2$\sqrt{3}$）²+（4-d）²，
∴d=2，R=4，
∴此三棱锥的外接球的半径为4．
故答案为：4．

点评 本题考查三棱锥的外接球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、勾股定理的合理运用．