Question

19．已知正数x，y满足x+y=1，则x-y的取值范围为（-1，1），$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$的最小值为3．

Answer 1

分析 ①根据题意，求出x-y的表达式，利用0＜x＜1即可求出x-y的取值范围；
②把1=x+y代人$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$，利用基本不等式即可求出它的最小值．

解答 解：①∵正数x，y满足x+y=1，
∴y=1-x，
∴-y=-1+x，
∴x-y=2x-1；
又0＜x＜1，
∴0＜2x＜2，
∴-1＜2x-1＜1，
即x-y的取值范围为（-1，1）；
②$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$=$\frac{x+y}{x}$+$\frac{x}{y}$=1+$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥1+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{x}{y}}$=1+2=3，
当且仅当x=y=$\frac{1}{2}$时取“=”；
∴$\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$的最小值为3．
故答案为：（-1，1），3．

点评 本题考查了不等式的基本性质与应用问题，也考查了基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$的应用问题，是基础题．