Question

9．点P（1，t）（t＞0）是椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$上一点，A，B是该椭圆上异于点P的两个点，且直线PA，PB的倾斜角分别为72°和108°，则直线AB的斜率为（　　）

• A． -$\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$
• B． tan18°
• C． $\frac{1}{2}$
• D． tan36°

Answer 1

分析 将P（1，t）代入椭圆方程，求得t值，设PB的直线方程为y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），与椭圆C联立方程组，求出B点坐标；再设PA的直线方程为y-$\frac{3}{2}$=-k（x-1），与椭圆C联立方程组，求出A点坐标，由此能求出直线AB的斜率．

解答 解：将P（1，t）（t＞0）代入椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，则P（1，$\frac{3}{2}$），
设PB的直线方程为y-$\frac{3}{2}$=k（x-1），将直线方程代入椭圆方程，
（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4（$\frac{3}{2}$-k）²-12=0，
设A（x_A，y_A），则x_A+1=$\frac{8{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
x_A=$\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
y_A=k（x_A-1）+$\frac{3}{2}$=kx_A-k+$\frac{3}{2}$，
又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以-k代k，
设B（x_B，y_B），
可得x_B=$\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}$，
y_B=-k（x_A-1）+$\frac{3}{2}$=kx_B+k+$\frac{3}{2}$，
∴直线AB的斜率为k_AB=$\frac{{y}_{B}-{y}_{A}}{{x}_{B}-{x}_{A}}$=$\frac{k（2-{x}_{A}-{x}_{B}）}{{x}_{B}-{x}_{A}}$，
=$\frac{k[2-（\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}+\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}）]}{\frac{4{k}^{2}+12k-3}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-12k-3}{3+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题主要考查椭圆方程的求解以及直线斜率的计算，利用直线和椭圆方程的位置关系，利用设而不求的思想是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强运算量较大，属于中档题．