Question

【题目】已知圆和定点，其中点是该圆的圆心，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，记直线，的斜率分别为，．证明：是定值；

（3）设点是曲线上另一个异于的点，且直线与的斜率满足，试探究：直线是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，.

【解析】

（1）利用椭圆的定义可求曲线的轨迹方程.

（2）设，算出，后计算，利用在椭圆上化简可得定值.

（3）根据（2）的结论可得，因此，从而．直线的斜率存在时，可设的方程为，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得，从而得到直线经过定点，当直线的斜率不存在时可验证直线也过这个定点．

（1）依题意可知圆的标准方程为，

因为线段的垂直平分线交于点，所以，

动点始终满足，故动点满足椭圆的定义,

因此，解得，∴椭圆的方程为.

（2），设，则；

（3），由（2）中的结论可知，

所以，即，故.

当直线的斜率存在时，可设的方程为，

由可得，

则（*），，

将（*）式代入可得，即，

亦即.或.

当时，，此时直线恒过定点（舍）；

当时，，此时直线恒过定点；

当直线的斜率不存在时，经检验，可知直线也恒过定点；

综上所述，直线恒过定点.