Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点F在直线l：x-y+1=0上
（I）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线l与抛物线C相交于P，Q两点，求线段PQ中点M的坐标．

Answer 1

（I）∵抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，

1

2

p）
∴0-

1

2

p+1=0，可得p=2，
因此抛物线C的方程是x²=4y；
（II）由

x-y+1=0 x2=4y

，消去y得

1

4

x²-x-1=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=4，可得中点M的横坐标为

1

2

=2（x₁+x₂）=2
代入直线l方程，得纵坐标为y_M=x_M+1=3
即线段PQ中点M的坐标（2，3）．