Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，$＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{3}$，则|$\overrightarrow{c}$|的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{21}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{3}$
• C． $\sqrt{26}$
• D． 2$\sqrt{26}$

Answer 1

分析 由于平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，利用向量的夹角公式可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$．
由于$＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{3}$，可得点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，因此可得|$\overrightarrow{c}$|的最大值为△OAB的外接圆的直径．

解答 解设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$．
平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1，
cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-1}{2×1}$=-$\frac{1}{2}$，
＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$．
由$＜\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$＞=$\frac{π}{3}$，
可得点C在△OAB的外接圆的弦AB所对的优弧上，如图所示．
因此|$\overrightarrow{c}$|的最大值为△OAB的外接圆的直径．
由|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\sqrt{4+1-2×（-1）}$=$\sqrt{7}$．
由正弦定理可得：△OAB的外接圆的直径2R=$\frac{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的夹角公式、三角形法则、数形结合的思想方法、正弦定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于中档题．