Question

7．棱长为3的正方体内部有一个半径为1的小球．当小球在正方体内部自由运动时，则在正方体内部小球所不能到达的空间的体积为20-$\frac{13π}{3}$．

Answer 1

分析 小球在盒子不能到达的空间要分以下几种情况，在正方体顶点处的小正方体中，其体积等于小正方体体积减球的体积，在棱长处对应的正方体中，其体积等于这些小正方体体积的和减以球的直径为底面直径，以正方体和的高为高的圆柱，其他空间小球均能到达，综合后即可得到结果．

解答 解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，
小球不能到达的空间为：8（1-$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{3}×π×{1}^{3}$）=8-$\frac{4}{3}π$，
除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×1的正四棱柱空间内，
小球不能到达的空间共为12×[1³-（$\frac{1}{4}$×π×1²×1）]=12-3π．
其他空间小球均能到达．
故小球不能到达的空间体积为：8-$\frac{4}{3}π$+12-3π=20-$\frac{13π}{3}$．
故答案为：20-$\frac{13π}{3}$．

点评 本题考查了球的体积，棱柱的体积，其中熟练掌握棱柱和不规则几何题的结构特征，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．