Question

15．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），曲线C₃的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2．
（1）若C₁，C₂相交于A、B两点，求出线段AB的长；
（2）求线AB的垂直平分线的极坐标方程；
（3）求曲线C₂上的点到C₃的最远距离．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用sin²θ+cos²θ=1可化为普通方程．曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），展开化为${ρ}^{2}=2×（\frac{1}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，可得直角坐标方程：${x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y$，联立解得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．
（2）利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出；
（3）利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，利用d+r即可得出．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为x²+y²=1．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$），展开化为${ρ}^{2}=2×（\frac{1}{2}ρcosθ-\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ）$，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y$，化为$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y+\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=x-\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$．
∴|AB|²=$（1+\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=3，∴|AB|=$\sqrt{3}$．
（2）线段AB的中点M$（\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{4}）$，k_AB=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴线AB的垂直平分线的方程为$y+\frac{\sqrt{3}}{4}=-\sqrt{3}（x-\frac{1}{4}）$，化为$\sqrt{3}x+y=0$．
极坐标方程为$θ=\frac{2π}{3}$或$θ=\frac{5π}{3}$．
（3）曲线C₃的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=2，展开$\frac{1}{2}ρcosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ=2$，
化为直角坐标方程：$x+\sqrt{3}y-4=0$．
圆心$（\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$到直线的距离d=$\frac{|\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-4|}{2}$=$\frac{7+\sqrt{3}}{4}$，
∴曲线C₂上的点到C₃的最远距离为d+1=$\frac{11+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．