Question

已知函数f（x）=（1-k）x+

m

x

+2，其中k，m∈R，且m≠0．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）k如何取值时，函数f（x）存在零点，并求出零点．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理,函数的定义域及其求法

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，x≠0，从而写出函数的定义域；
（2）函数f（x）存在零点可化为方程（1-k）x+

m

x

+2=0有根，从而求解．

解答： 解：（1）由题意，x≠0，
故函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（2）∵函数f（x）存在零点，
∴（1-k）x+

m

x

+2=0，
即（1-k）x²+2x+m=0，
当1-k=0，即k=1时，x=-

m

2

；
当1-k≠0，即k≠1时，
△=4-4（1-k）m=4-4m+4km≥0，
即（1-k）m≤1时，
x=

-2±2 1-m+km

2(1-k)

=

-1± 1-m+km

1-k

．

点评：本题考查了函数的定义域及函数的零点的判断，属于基础题．