Question

14．在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，AH为△ABC的高线，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AH}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• B． $\frac{1}{7}$
• C． $\frac{3}{7}$
• D． $\frac{4}{7}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，求解三角形得到AH，BH的长度，以BC所在直线为x轴，以HA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出A，B的坐标，得到$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AH}$的坐标，代入数量积的坐标运算得答案．

解答 解：如图，

在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，
则BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=$4+1-2×2×1×cos120°=5-4×（-\frac{1}{2}）=7$，
由$\frac{1}{2}BC•AH=\frac{1}{2}AB•AC•sin∠BAC$，得$\sqrt{7}AH=2×1×sin120°=\sqrt{3}$，∴AH=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴BH=$\sqrt{{2}^{2}-\frac{3}{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7}$．
以BC所在直线为x轴，以HA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则B（$-\frac{5\sqrt{7}}{7}，0$），A（0，$\frac{\sqrt{21}}{7}$），则$\overrightarrow{AB}=（-\frac{5\sqrt{7}}{7}，-\frac{\sqrt{21}}{7}）$，$\overrightarrow{AH}=（0，-\frac{\sqrt{21}}{7}）$，
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AH}=（-\frac{\sqrt{21}}{7}）×（-\frac{\sqrt{21}}{7}）=\frac{3}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，是中档题．