Question

18．已知函数f（x）满足f（x）=cos（$\frac{4k-1}{2}$π+α）+cos（$\frac{4k+1}{2}$π-α）（k∈Z）．
（1）化简f（x）；
（2）若α为第二象限角，且tan（α-$\frac{2015π}{2}$）=$\frac{1}{2}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式化简函数的解析式．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sinα 的值，可得 f（α）=2sinα 的值．

解答 解：（1）f（x）满足f（x）=cos（$\frac{4k-1}{2}$π+α）+cos（$\frac{4k+1}{2}$π-α）
=cos（2kπ-$\frac{π}{2}$+α）+cos（2kπ+$\frac{π}{2}$-α）=cos（-$\frac{π}{2}$+α）+cos（$\frac{π}{2}$-α）=2sinα．
（2）若α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，
∵tan（α-$\frac{2015π}{2}$）=tan（-1007π+α-$\frac{π}{2}$）=tan（α-$\frac{π}{2}$）=-cotα=-$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{1}{2}$，
且 sin²α+cos²α=1，∴sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴f（α）=2sinα=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．