Question

7．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．[附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（2）试估计该公司投入4万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：

广告投入x（单位：万元）	1	2	3	4	5
销售收益y（单位：万元）	2	3	2		7

由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并求出y关于x的回归直线方程．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；
（2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；
（3）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程．

解答 解：（1）设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）•m=0.5m=1，故m=2，即图中各小长方形的宽度为2．…（3分）
（2）由（1）知各小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，
其中点分别为1，3，5，7，9，11，
对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，
故可估计平均值为1×0.16+3×0.2+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5．…（7分）
（3）由（2）可知空白栏中填5．
由题意可知，$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3，\overline{y}=\frac{2+3+2+5+7}{5}=3.8$，$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=1×2+2×3+3×2+4×5+5×7=69$，$\sum_{i=1}^5x_i^2={1^2}+{2^2}+{3^2}+{4^2}+{5^2}=55$，
根据公式，可求得$\hat b=\frac{69-5×3×3.8}{{55-5×{3^2}}}=\frac{12}{10}=1.2$，…（10分）$\hat a=3.8-1.2×3=0.2$，…（11分）
所以所求的回归直线方程为y=1.2x+0.2．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图，考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的，进而正确运算求出线性回归方程的系数，本题是一个中档题．