Question

18．已知f（x）=2x²+x-k，g（x）=x³-3x，若对任意的x₁∈[-1，3]，总存在x₀∈[-1，3]，使得f（x₁）≤g（x₀）成立，则实数k的取值范围是k≥3．

Answer 1

分析 对任意x₁∈[-1，3]，x₀∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₀）成立，即f（x）在区间[-1，3]上的最大值小于或等于g（x）的最大值，利用导数求g（x）的最大值，再由二次函数的最值求f（x）的最大值即可．

解答 解：若对任意x₁∈[-1，3]，x₀∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₀）成立，
即f（x）在区间[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最大值，
∵g（x）=x³-3x，
∴g′（x）=3x²-3，
令3x²-3=0，解得x=±1，当x∈（-1，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
当x∈（1，3]时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，故当x=1时，函数g（x）取到极小值，
也是该区间的最小值g（1）=-2，
又g（-1）=2，g（3）=18．
∴g（x）在[-1，3]上的最大值为18．
而f（x）=2x²+x-k为开口向上的抛物线，对称轴为x=-$\frac{1}{4}$，故当x=3时取最大值f（3）=21-k，
由21-k≤18，解得k≥3．
∴实数k的取值范围是k≥3．
故答案为：k≥3．

点评 本题为函数导数的综合应用，涉及函数的极值最值和恒成立问题，属中档题．