Question

17．如图，圆锥的横截面为等边三角形SAB，O为底面圆圆心，Q为底面圆周上一点．
（Ⅰ）如果BQ的中点为C，OH⊥SC，求证：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，求该圆锥的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OC，AQ，由已知可得OC∥AQ，再由AB为圆的直径，可得OC⊥BQ，由SO⊥平面ABQ，得SO⊥BQ，由线面垂直的判定可得BQ⊥平面SOC，进一步得到平面SBQ⊥平面SOC，由面面垂直的性质可OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）由已知求解三角形可得OQ=OA=2，SA=4，则SO=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$．由已知体积公式求得圆锥的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接OC，AQ，
∵O为AB的中点，且BQ的中点为C，
∴OC∥AQ，
∵AB为圆的直径，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，
∵SO⊥平面ABQ，∴SO⊥BQ，
又SO∩OC=O，∴BQ⊥平面SOC，
则平面SBQ⊥平面SOC，
又平面SBQ∩平面SOC=SC，OH⊥SC，
∴OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）解：∵∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，∴OC=1，OQ=OA=2，SA=4，
则SO=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=2\sqrt{3}$．
∴圆锥的体积V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}•h=\frac{1}{3}π×{2}^{2}×2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}π$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了圆锥体积的求法，是中档题．