Question

6．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）离心率为$\sqrt{3}$，左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支上一点，∠F₁PF₂的平分线为l，点F₁关于l的对称点为Q，|F₂Q|=2，则双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1

Answer 1

分析 由题意可得直线l为F₁Q的垂直平分线，且Q在PF₂的延长线上，可得|PF₁|=|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|，由双曲线定义可得a=1，再由离心率公式可得c，由a，b，c的关系，可得b的值，进而得到所求双曲线的方程．

解答 解：由∠F₁PF₂的平分线为l，点F₁关于l的对称点为Q，
可得直线l为F₁Q的垂直平分线，且Q在PF₂的延长线上，
可得|PF₁|=|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|，
即|PF₁|-|PF₂|=|F₂Q|，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|F₂Q|=2，可得a=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，可得c=$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的定义和线段垂直平分线的性质，考查双曲线的基本量的关系，以及运算能力，属于中档题．