Question

1．${∫}_{0}^{x}$（a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ）dx=x（x+1）ⁿ，则a₁+a₂+…+a_n=（n+2）2^n-1-1．

Answer 1

分析 根据定积分的计算方法和求导法则得到（x+1）ⁿ+nx（x+1）^n-1=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再分别令x=1或x=0即可求出答案．

解答 解：${∫}_{0}^{x}$（a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ）dx=x（a₀+$\frac{1}{2}$a₁x+$\frac{1}{3}$a₂x²+…+$\frac{1}{n+1}$a_nxⁿ）=x（x+1）ⁿ，
∴x（x+1）ⁿ=a₀x+$\frac{1}{2}$a₁x²+$\frac{1}{3}$a₂x³+…+$\frac{1}{n+1}$a_nxⁿ⁺¹，
两边求导可得（x+1）ⁿ+nx（x+1）^n-1=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1，则a₀+a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ+n•2^n-1=（n+2）2^n-1，
再令x=0，则a₀=1，
∴a₁+a₂+…+a_n=（n+2）2^n-1-1，
故答案为：（n+2）2^n-1-1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于中档题．