Question

20．已知动圆M过定点F（0，-1），且与直线y=1相切，圆心M的轨迹为曲线C，设P为直线l：x-y+2=0上的点，过点P作曲线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）当点P（x₀，y₀）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（Ⅲ）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先设M（x，y），由两点间的距离公式可得轨迹C的方程；
（Ⅱ）求出切线PA，PB的方程，利用切线PA，PB均过P（x₀，y₀），可得A，B的坐标是方程x₀x+2y+2y₀=0的两组解，从而可求直线AB的方程；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|=1-y₁，|BF|=1-y₂，表示出|AF|•|BF|，利用配方法可求|AF|•|BF|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），则$\sqrt{{x}^{2}+（y+1）^{2}}=|y-1|$，
化简得：x²=-4y，
∴曲线C的方程为x²=-4y；
（Ⅱ）抛物线方程可化为$y=-\frac{{x}^{2}}{4}$，求导得${y}^{′}=-\frac{1}{2}x$，设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则切线PA，PB的斜率分别为$-\frac{1}{2}{x}_{1}$，$-\frac{1}{2}{x}_{2}$，
∴PA的方程为$y-{y}_{1}=-\frac{{x}_{1}}{2}（x-{x}_{1}）$，即x₁x+2y+2y₁=0．
同理PB的方程为x₂x+2y+2y₂=0，
∵切线PA，PB均过P（x₀，y₀），
∴x₁x₀+2y₀+2y₁=0，x₂x₀+2y₀+2y₂=0．
∴（x₁，y₁），（x₂，y₂）为方程x₀x+2y+2y₀=0的两组解，
∴直线AB的方程为x₀x+2y+2y₀=0；
（Ⅲ）由抛物线定义可知|AF|=1-y₁，|BF|=1-y₂，
∴|AF|•|BF|=（1-y₁）（1-y₂）=1-（y₁+y₂）+y₁y₂．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=-4y}\\{{x}_{0}x+2y+2{y}_{0}=0}\end{array}\right.$，整理得：${y}^{2}+（2{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}）y+{{y}_{0}}^{2}=0$，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-（2{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}），{y}_{1}{y}_{2}={{y}_{0}}^{2}$．
∴|AF|•|BF|=$1+（2{y}_{0}+{{x}_{0}}^{2}）+{{y}_{0}}^{2}$．
∵点P在直线l上，
∴x₀=y₀-2．
∴|AF|•|BF|=$2{{y}_{0}}^{2}-2{y}_{0}+5$=$2（{y}_{0}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{2}$．
∴当${y}_{0}=\frac{1}{2}$时，|AF|•|BF|取得最小值，最小值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查抛物线的切线方程，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于难题．