Question

9．已知⊙O的方程为x²+y²=4．
（1）若P为圆O上第一象限内的动点，过点P的切线与x轴和y轴的正方向分别相交于A，B两点，设$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求|$\overrightarrow{OM}$|的最小值；
（2）设C为圆O上的一点，D，E是圆O上关于x轴对称的两点，若直线CD和直线CE与x轴交点的横坐标分别为s，t，求证：st为定值．

Answer 1

分析 （1）设出切线方程，利用$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，表示出$\overrightarrow{OM}$，求出模长，利用基本不等式即可求得结论；
（2）设点D（x₀，y₀），点C（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），写出直线直线CD、CE的方程，利用方程求出直线与x轴的交点坐标，计算st的值即可．

解答 解：（1）∵⊙O的方程为x²+y²=4，
设切线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
则A（a，0），B（0，b），
∵$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OM}$=（a，b），
∴|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$；
又直线l与圆C相切，∴d=r，
即$\frac{|-ab|}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$=2，
∴ab=2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$；
又ab≤$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，
∴2$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$≤$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$≥4，
即|$\overrightarrow{OM}$|≥4，当且仅当a=b=2$\sqrt{2}$时“=”成立；
∴|$\overrightarrow{OM}$|的最小值是4；
（2）如图所示，
设点D（x₀，y₀），由对称性知点E（x₀，-y₀），且${{x}_{0}}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4，
设C（x₁，y₁）（y₁≠±y₀），则${{x}_{1}}^{2}$+${{y}_{1}}^{2}$=4；
所以直线CD的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{1}{-y}_{0}}{{x}_{1}{-x}_{0}}$（x-x₁），
直线CE的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{1}{+y}_{0}}{{x}_{1}{-x}_{0}}$（x-x₁）；
在上述直线方程中，分别令y=0，
解得x_M=$\frac{{{x}_{0}y}_{1}{{-x}_{1}y}_{0}}{{y}_{1}{-y}_{0}}$，x_N=$\frac{{{x}_{0}y}_{1}{{+x}_{1}y}_{0}}{{y}_{1}{+y}_{0}}$，
所以st=x_M•x_N=$\frac{{{{（x}_{0}y}_{1}）}^{2}{-{{（x}_{1}y}_{0}）}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}{{-y}_{0}}^{2}}$=$\frac{（4{{-y}_{0}}^{2}{{）y}_{1}}^{2}-（4{{-y}_{1}}^{2}{{）y}_{0}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}{{-y}_{0}}^{2}}$=4，
即证st为定值．

点评 本题考查了圆的切线性质与基本不等式的应用问题，也考查了平面向量以及直线斜率的应用问题，是综合性题目．