Question

7．在如图所示的五面体ABCDEF中，矩形BCEF所在的平面ABC垂直，AD∥CE，CE=2AD=2，M是BC的中点，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC=2．
（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：DE⊥平面BDC，并求三棱锥C-DBE的体积．

Answer 1

分析 （1）取BE的中点N，连结DN，MN，推导出四边形ADMN是平行四边形，从而DN∥AM，由此能证明AM∥平面BDE．
（2）由余弦定理得BC=$\sqrt{3}$，由勾股定理得BC⊥AC，再由BC⊥CE，从而BC⊥平面ACED，进而DE⊥BC，由此能证明DE⊥平面BCD，三棱锥C-DBE的体积V_C-BDE=V_B-CDE，由此能求出结果．

解答 证明：（1）取BE的中点N，连结DN，MN，则MN∥CE，且MN=$\frac{1}{2}$CE，
又AD∥CE，且AD=$\frac{1}{2}$CE，∴AD∥MN，且AD=MN，
∴四边形ADMN是平行四边形，∴DN∥AM，
又DN?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（2）在△ABC中，∵∠BAC=60°，AB=2AC=2，
由余弦定理得BC=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得∠ACB=90°，BC⊥AC，
又BC⊥CE，且CE∩AC=C，∴BC⊥平面ACED，
又DE?平面ACED，∴DE⊥BC，
∵DC∩BC=C，∴DE⊥平面BCD，
∴三棱锥C-DBE的体积：
V_C-BDE=V_B-CDE=$\frac{1}{3}×{S}_{△CDE}×BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．