Question

13．三棱锥S-ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB=5，BC=8，∠B=60°，$SA=2\sqrt{5}$，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

• A． $\frac{64}{3}π$
• B． $\frac{256}{3}π$
• C． $\frac{436}{3}π$
• D． $\frac{2048}{27}\sqrt{3}π$

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和直三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，得球的半径R，然后求解表面积．

解答 解：在△ABC中，由AB=5，BC=8，∠B=60°，可得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cos6{0}^{0}}$=7
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的直三棱柱的外接球，
∵在△ABC中，设△ABC的外接圆半径r，则$\frac{AC}{sin6{0}^{0}}=2r$，r=$\frac{7}{\sqrt{3}}$
 球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=$\sqrt{5}$，
故球的半径R=$\sqrt{5+\frac{49}{3}}=\sqrt{\frac{64}{3}}$，
∴三棱锥S-ABC外接球的表面积为：4πR²=4$π×\frac{64}{3}$=$\frac{256}{3}$π．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，利用正弦定理求△ABC的外接圆半径、熟练掌握球的半径R公式是解答的关键．属于中档题．