Question

15．设A={x|x²+（2a-3）x-3a=0}，B={x|x²+（a-3）x+a²-3a=0}，若A≠B，A∩B≠∅，试求A∪B．

Answer 1

分析 由题意设公共根是b，代入两方程，作差可得b=a，即公共根就是a，进一步代入原方程求解两集合得答案．

解答 解：∵A∩B≠∅，∴两个方程有公共根，
设公共根是b，
则b²+（2a-3）b-3a=0，b²+（a-3）b+a²-3a=0，
两式相减得：ab-a²=0，即a（b-a）=0．
若a=0，则两个方程都是x²-3x=0，与A≠B矛盾； 
∴a≠0，则b=a，
∴公共根就是a，
代入x²+（2a-3）x-3a=0，得a²+a（2a-3）-3a=0，
即a²-2a=0，解得a=0（舍），a=2．
∴A={x|x²+x-6=0}={-3，2}，
B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，
∴A∪B={2，-3，-1}．

点评 本题考查交集及其运算，考查数学转化思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．