Question

5．以下四个命题中，真命题的是（　　）

• A． ?x∈（0，π），使sinx=tanx
• B． “对任意的x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²+x₀+1＜0”
• C． ?θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数
• D． △ABC中，“sinA+sinB=cosA+cosB”是“C=$\frac{π}{2}$”的充要条件

Answer 1

分析 A．根据三角函数的性质进行判断．
B．根据全称命题的否定是特称命题进行判断．
C．根据三角函数奇偶性进行判断．
D．根据充分条件和必要条件的定义，利用平方法进行判断．

解答 解：A．若sinx=tanx，则sinx=tanx=$\frac{sinx}{cosx}$，
∵x∈（0，π），∴sinx≠0，则1=$\frac{1}{cosx}$，即cosx=1，
∵x∈（0，π），∴cosx=1不成立，故?x∈（0，π），使sinx=tanx错误，故A错误，
B．“对任意的x∈R，x²+x+1＞0”的否定是“存在x₀∈R，x₀²+x₀+1≤0”，故B错误，
C．当θ=$\frac{π}{2}$时，f（x）=sin（2x+θ）=sin（2x+$\frac{π}{2}$）=cos2x为偶函数，故C错误，
D．在△ABC中，C=$\frac{π}{2}$，则A+B=$\frac{π}{2}$，
则由sinA+sinB=sin（$\frac{π}{2}$-B）+sin（$\frac{π}{2}$-A）=cosB+cosA，则必要性成立；
∵sinA+sinB=cosA+cosB，
∴sinA-cosA=cosB-sinB，
两边平方得sin²A-2sinAcosA+cos²A=sin²B-2sinBcosB+cos²B，
∴1-2sinAcosA=1-2sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，
则2A=2B或2A=π-2B，
即A=B或A+B=$\frac{π}{2}$，
当A=B时，sinA+sinB=cosA+cosB等价为2sinA=2cosA，
∴tanA=1，即A=B=$\frac{π}{4}$，此时C=$\frac{π}{2}$，
综上恒有C=$\frac{π}{2}$，即充分性成立，
综上△ABC中，“sinA+sinB=cosA+cosB”是“C=$\frac{π}{2}$”的充要条件，故D正确，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．考查学生的运算 和推理能力．