Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，，∠ABC=∠BCD=90°，E为PB的中点。

（1）证明：CE∥面PAD.

（2）若直线CE与底面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P-ABCD的体积。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取PA中点Q，连接QD，QE，可证四边形CDQE为平行四边形，从而CE∥QD，于是证得线面平行；

（2）连接BD，取BD中点O，连接EO，CO，可证EO∥PD，从而得到直线CE与底面ABCD所成的角，求得EO也即能求得PD，最终可得棱锥体积．

解法一:(1)取PA中点Q，连接QD，QE，

则QE∥AB，且QE=AB

∴QE∥CD，且QE=CD.

即四边形CDQE为平行四边形，CE∥QD.

又∵CE平面PAD，QD平面PAD，

∴CE∥平面PAD.

(2)连接BD，取BD中点O，连接EO，CO

则EO∥PD，且EO=PD.

∵PD⊥平面ABCD，

∴EO⊥平面ABCD.

则CO为CE在平面ABCD上的射影，

即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角，∠ECO=45°

在等腰直角三角形BCD中，BC=CD=2，则BD=2，

则在RtΔECO中，∠ECO=45°，EO=CO=BD=

2PD=2E0=2，

∴

∴

∴四棱锥P-ABCD的体积为.

解法二：(1)取AB中点Q，连接QC，QE

则QE∥PA

∵PA平面PAD，QE平面PAD

∴QE∥平面PAD，

又∵AQ=AB=CD，AQ∥CD，

∴四边形AQCDカ平行四迹形，

则CQ∥DA

∵DA平面PAD，CQ平面PAD，

∴CQ∥平面PAD，

(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD，证明其中一个即给2分)

又QE平面CEQ，CQ平面CEQ，QECQ=Q，

∴平面CEQ∥平面PAD，

又CE平面CQ，

∴CE∥平面PAD.

(2)同解法一.