Question

13．若直线ax-by=2（a＞0，b＞0）过圆x²+y²-4x+2y+1=0的圆心，则ab的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 求出圆的标准方程，求出圆心，根据直线和圆心的关系，求出a，b的关系，利用基本不等式进行求解即可．

解答 解：圆的标准方程为（x-2）²+（y+1）²=4，
圆心坐标为（2，-1），
代入直线方程得2=2a+b≥2$\sqrt{2ab}$，
则ab≤$\frac{1}{2}$，
当且仅当2a=b，即a=$\frac{1}{2}$，b=1时，取等号，
即ab的最大值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查最值的求解，根据直线和圆的位置关系，结合基本不等式是解决本题的关键．