Question

4．若椭圆的方程$\frac{x^2}{10-a}+\frac{y^2}{a-2}$=1，且此椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则实数a=$\frac{14}{3}$或$\frac{22}{3}$．

Answer 1

分析 讨论椭圆的焦点在x，y轴上时，运用离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：当椭圆的焦点在x轴上时，
可得10-a＞a-2＞0，即2＜a＜6，
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得（10-a）-（a-2）=$\frac{1}{2}$（10-a），
解得a=$\frac{14}{3}$；
当椭圆的焦点在y轴上时，
可得a-2＞10-a＞0，即6＜a＜10，
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得（a-2）-（10-a）=$\frac{1}{2}$（a-2），
解得a=$\frac{22}{3}$．
故答案为：$\frac{14}{3}$或$\frac{22}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的运用，注意分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．