Question

2．已知{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），S_n=a₁+4a₂+4²a₃+…+4^n-1a_n，则5S_n-4ⁿa_n=（　　）

• A． n-1
• B． n
• C． 2n
• D． n²

Answer 1

分析 a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），变形为：a_n+1-$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，利用等比数列通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n+a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1-$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}\}$是等比数列，首项为$\frac{4}{5}$，公比为-1．
∴a_n=$\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}$+$\frac{4}{5}$×（-1）^n-1．
4^n-1a_n=$\frac{1}{5}$+（-1）^n-1×$\frac{1}{5}$×4ⁿ．
4ⁿa_n=$\frac{4}{5}$+（-1）^n-1×$\frac{{4}^{n+1}}{5}$．
∴5S_n=n-$\frac{-4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$=n+$\frac{4}{5}$-$\frac{（-4）^{n}}{5}$．
∴5S_n-4ⁿa_n=n．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．